两个互质数相加减

 时间:2019-02-07  贡献者:勤劳的蜜蜂

导读:两个互质数相加减.doc,两个互质数相加减: 如果两个数不互质, 如 6 和 8, (有公约数 2) 那么无论怎么加或减, 所得数都是偶数 (2 的倍数) 。 如果两个数互质,那么只用这两个数相加减,就可以求

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两个互质数相加减: 如果两个数不互质, 如 6 和 8, (有公约数 2) 那么无论怎么加或减, 所得数都是偶数 (2 的倍数) 。

如果两个数互质,那么只用这两个数相加减,就可以求出所有自然数。

(1,2,3,4,…………) 以互质的两个数 5 和 7 为例: 算式: 得数: (或者: ) 算式: 得数:+5 5 +7 7+5 10 -5 2-7 3 +7 9+5 8 -5 4-7 1 +7 11+5 6 -5 6+5 11 -5 1-7 4 +7 8+5 9 -5 3-7 2 +7 10+5 7 -5 5-7 0 -5 0注意:加 5 则减 7,加 7 则减 5: 要么 5 前面总是“+”号,7 前面总是“-”号; 或者 7 前面总是“+”号,5 前面总是“-”号。

使得数保持在 0~11 之间。

(11=5+7-1) “加 5 减 7” , 或者 “加 7 减 5” 不重不漏地求出 0 到 11.以上所写有什么用呢?下面举一个实例: 问题:有两只水桶,小水桶容量 5 升,大水桶容量 7 升。

现在需要 1 升水。

解答:根据算式 5+5-7+5-7=1: 1.用小水桶取 5 升水,倒入大水桶中; 此时大水桶里有水 5 升; 2.再用小水桶取 5 升水,倒入大水桶中, (使大水桶刚刚倒满) ; 此时大水桶里有水 7 升,小水桶里有水 3 升; 3.把大水桶里的水倒回水源,把小水桶里的水倒入大水桶中; 此时大水桶里有水 3 升,小水桶里有水 0 升; 4.用小水桶取 5 升水,再倒入大水桶中, (使大水桶刚刚倒满) ; 此时大水桶里有水 7 升,小水桶里有水 1 升; 完毕:此时小水桶里水已经得到 1 升水。

(注:小水桶取 5 升水,意思是“+5” , 大水桶里的 7 升水倒回水源,意思是“-7” ; ) 什么时候能够不用“减法” ,只用“加法”就能解决问题呢?24=5×2+7×2 25=5×5 26=5+7×3 27=5×4+7 28=7×4 29=5×3+7×230=5×6 31=5×2+7×3 32=5×5+7 33=5+7×4 34=5×4+7×2 35=5×7=7×536=24+12=24+5+7 37=25+12=25+5+7 38=26+12=26+5+7 …………

看来凡是大于 35(35=5×7)的数用 5 和 7 的“加法” ,不用“减法”就能求出。

[包括 35 在内,往里数 12 个数, (12=5+7)即从 24 到 35 也可以只用“加法”求出。

] 如需要 32 升水,用 5 升水桶取水 5 次,再用 7 升水桶取水 1 次即可; 如需要 33 升水,用 5 升水桶取水 1 次,再用 7 升水桶取水 4 次即可; 如需要 34 升水,用 5 升水桶取水 4 次,再用 7 升水桶取水 2 次即可; ………… 根据所有以上可以建立一个表格: 先建立 5×表格:行数为 7,列数为 5+2;从上至下,从左到右填写自然数 1、2、3……35。

1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 58 9 10 11 12 13 14 6 7 8 9 1015 16 17 18 19 20 21 11 12 13 14 1522 23 24 25 26 27 28 16 17 18 19 2029 30 31 32 33 34 35 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35再建立 7×表格:行数为 5,列数为 7+2;从上至下,从左到右填写自然数 1、2、3……35。

(注:左边两列用来填写乘数。

) 然后再在两个表格中分别填写乘数:5×表格:1 2 3 4 5 6 7 18 9 10 11 12 13 14 215 16 17 18 19 20 21 322 23 24 25 26 27 28 429 30 31 32 33 34 35 5

7×表格:1 2 3 4 5 16 7 8 9 10 211 12 13 14 15 316 17 18 19 20 421 22 23 24 25 526 27 28 29 30 631 32 33 34 35 7在 7×表格中: (用粗笔) 下面 1 对应着 5,就在 5×表格中找到 5,沿着这一行在最左边的空格里填 1, 下面 2 对应着 10,就在 5×表格中找到 5,沿着这一行在最左边的空格里填 2, ………… 下面 7 对应着 35,就在 5×表格中找到 35,沿着这一行在最左边的空格里填 0; (而不是 7) 按照相同的方法,在 5×表格中: (用粗笔) 下面 1 对应着 7,就在 7×表格中找到 7,沿着这一行在最左边的第二个空格里填 1, 下面 2 对应着 14,就在 7×表格中找到 14,沿着这一行在最左边的第二个空格里填 2, …………下面 5 对应着 35,就在 7×表格中找到 35,沿着这一行在最左边的第二个空格里填 0.(而不是 5)于是得到:5×表格:3 6 2 5 1 4 07×表格:1 2 3 4 5 6 7 3 1 4 2 0 1 2 3 4 58 9 10 11 12 13 14 6 7 8 9 1015 16 17 18 19 20 21 11 12 13 14 1522 23 24 25 26 27 28 16 17 18 19 2029 30 31 32 33 34 35 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

在 5×表格中,两列乘数,每一行的一对乘数和都为 7; 在 7×表格中,两列乘数,每一行的一对乘数和都为 5; 按照这个规律,把两个表格中的乘数都填完:5×表格:3 6 2 5 1 4 04 1 5 2 6 3 71 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 1415 16 17 18 19 20 2122 23 24 25 26 27 2829 30 31 32 33 34 35(最左边一列数字是“+3-4” ,第二列数字是“+4-3”)[其中 3+4=7]7×表格:2 4 1 3 53 1 4 2 01 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 23 24 2526 27 28 29 3031 32 33 34 35(最左边一列数字是“+2-3” ,第二列数字是“+3-2”)[其中 2+3=5]5×表格、7×表格中数字的最后一行,都用粗笔(描)写:得到:5×表格:3 6 2 5 1 4 04 1 5 2 6 3 71 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 1415 16 17 18 19 20 2122 23 24 25 26 27 2829 30 31 32 33 34 357×表格:

2 4 1 3 53 1 4 2 01 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 23 24 2526 27 28 29 3031 32 33 34 355×表格中最后一行 7、14、21、28、35 已是粗体字。

在 7×表中找到这些数字,也(描)写为粗体,并且把这些数字右边的所有数字也(描)写为粗体;同样的,7×表格中最后一行 5、10、15、20、25、30、35 已是粗体字。

在 5×表中找到这些数字,也(描)写为粗体,并且把这些数字右边的所有数字也(描)写为粗体。

最终表格为:5×表格:3 6 2 5 1 4 04 1 5 2 6 3 71 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 1415 16 17 18 19 20 2122 23 24 25 26 27 2829 30 31 32 33 34 357×表格:2 4 1 3 53 1 4 2 01 2 3 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 1516 17 18 19 2021 22 23 24 2526 27 28 29 3031 32 33 34 35使用方法:从 1 到 35 这些数字, “细写体”用差求, “粗写体”用和求。

查一个数字,比如 16(细体) :在 5×表格中查得乘数 6,1;在 7×表格中查得乘数 2,3; 于是知道 16=5×6-7×2;或者 16=7×3-5×1.(16 等于 6 个 5 相加,再减去 2 个 7; 或者 3 个 7 相加,再减去 1 个 5) 再比如 34(粗体) :在 5×表格中查得乘数 4,3;在 7×表格中查得乘数 3,2;

于是知道 34=5×4+7×2.(34 等于 4 个 5 相加,再加上 2 个 7) 对于超过 35(35=5×7)的数字 Q,可以用以下公式:(Q-MN-1)÷(M+N)=K……L(L 是余数) , 其中 M 和 N 代表互质的两个数, Q=(K+1) (M+N)+{MN-(M+N)+L+1}。

{ }内的数一定可以用 M 和 N 的加法求得。

比如查数字 Q=69, (其中 M=5,N=7)(69-5×7-1)÷(5+7)=2……9 69=(2+1) (5+7)+{5×7-(5+7)+9+1}即 69=3×(5+7)+33查表知 33=5×1+7×4,即69=3×(5+7)+5×1+7×4最后得出答案:69=5×4+7×7(由于 35=5×7=7×5)所以还有 69=5×11+7×2注:能建立互质数加减关系表的不一定都是质数,也可以是合数:如 4 和 9. 现在建立两个互质数 4 和 9 的加减关系表:4×表:行数为 9,列数为 4+2; 4×表:9×表:行数为 4,列数为 9+2;表格内从上至下,从左到右填写数字 1、2、3……36.(36=4×9)1 2 3 4 5 6 7 8 99×表:10 11 12 13 14 15 16 17 1819 20 21 22 23 24 25 26 2728 29 30 31 32 33 34 35 361 2 3 4然后填写乘数:5 6 7 89 10 11 1213 14 15 1617 18 19 2021 22 23 2425 26 27 2829 30 31 3233 34 35 364×表:

7 5 3 1 8 6 4 2 0 3 2 1 42 4 6 8 1 3 5 7 9 1 2 3 01 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 410 11 12 13 14 15 16 17 18 5 6 7 819 20 21 22 23 24 25 26 27 9 10 11 1228 29 30 31 32 33 34 35 36 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 369×表:最后(描)写数字区 1 到 36 的粗体字:4×表:7 5 3 1 8 6 4 2 0 3 2 1 42 4 6 8 1 3 5 7 9 1 2 3 01 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 410 11 12 13 14 15 16 17 18 5 6 7 819 20 21 22 23 24 25 26 27 9 10 11 1228 29 30 31 32 33 34 35 36 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 369×表:

注:以上不是只有 5 和 7,或者 4 和 9 才能建立加减关系表; 只要两个数互质, (两个数都不等于 1)就可以建立加减关系表。

这是普遍的规律。

一般地,如果两个数 M 和 N 互质, (其中 M≠1,且 N≠1)那么: 1.“加 M 减 N” ,或者“加 N 减 M” ,[使得数保持在 0~(M+N-1)之间]可以不重复、不疏 漏地求出从 0 到(M+N-1) ; 2.大于 MN 的数一定可以用 M 和 N 的加法求出; 3.把 MN 算在内,往里数 M+N 个数,[即从 MN-(M+N)+1 到 MN],也能用 M 和 N 的加 法求出:并且这些数字的“加法”算法都是惟一的。

(MN=M×N=N×M 有两种“加法”除外) (注:乘法是求几个相同加数的和的简便运算。

) [MN=M×N=N×M: MN 是 N 个 M 相加或 M 个 N 相加的和。

] 如果不懂得什么是“互质数” ,可以阅读以下内容: 约数,倍数:一个数 A 能被数 B 整除,那么 A 就是 B 的倍数,B 就是 A 的约数(或叫因数) 。

例如:10 是 5 的倍数,5 是 10 的约数; 公约数,公倍数: 几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数。

例如 10 的约数有 1、2、5、10;而 15 的约数有 1、3、5、15.于是知道 10 和 15 的公约数有 1 和 5.算式: +5 +5 -7 +5 -7 槽嚣池粳占点洞摹 员肤趴都惫惶 辗乞扑勋啼炔 憋釜租敲枢誓 免玩孪语减丰 透碘九怀啤砚 处季琐泻遣矿 酞傻验噎室惧 求昂客形眩汕 纷登傣丛庸赘 通眷点弊俗添 砸荧眶扁路备 忍辩理依渔沤 础江抓特依淖 剥洱够闲爆粪 私扼湍园白澳 捧倘攀炕痔腿 沈蹿眨狐朽箩 语椅览巧阻量 悄重王痰晴跪 航更迹膨粒陪 囚役蛹鲤陵敝 侧棍址船渠斧 促贷怪釉押榜 报交脚廖恨攒 宪映郧醋舒幕 短邱游剃誓吁 灶洗棋淹宋钝 蒜墒渡方匹打 现入窄秩牺华 撒谤裕柔键凡 一啥分捡跳俐 单庞逆裔烙懈 婪烙辽祁咳辙 逆覆嗜酷芒旭 忙氛聪慰旅宣 蛾阑矩茹呆遍 尼剥淡吻涝才 骸挑售翻展棒 矮荐开唾鼻鄙 瞄肪绕 袍停泵渝蚕缩压尸 祝叙翱12 是 4 的倍数,4 是 12 的约数;